求解计算机微分方程的六大数值计算的方法-1.有限元法方法

今天，我将介绍计算机求解微分方程的六种数值方法。

1. 有限元法

有限元法的基础是变分原理和加权余量法。基本的解决思路是将计算域划分为有限数量的非重叠元素。在每个元素中，选择一些合适的节点作为解函数的插值点。，将微分方程中的变量改写为由各变量的节点值或其导数和所选插值函数组成的线性表达式，利用变分原理或加权残差法对微分方程进行离散求解。使用不同形式的权函数和插值函数，构成不同的有限元方法。

在有限元法中，计算域被离散地划分为有限个不重叠且相互连接的单元，在每个单元中选择一个基函数，利用单元基函数的线性组合来逼近真实解元素。域上的整体基函数可以看成是由各个单元的基函数组成的，整个计算域上的解可以看成是所有单元上的近似解组成的。

根据所使用的权重函数和插值函数的不同，有限元法也分为各种计算格式。从权重函数的选择上，有构形法、矩法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状划分，包括三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值的精度函数分为线性插值函数和高阶插值函数。不同的组合也构成了不同的有限元计算格式。

对于权重函数，()方法是将权重函数作为逼近函数中的基函数；最小二乘法是使权重函数等于余数本身，内积的最小值为替代系数的平方，误差最小；在配置方法中，首先在计算域中选择N个配置点。令近似解在选取的N个配置点处严格满足微分方程，即令方程在配置点处的边距为0。插值函数一般由不同幂的多项式组成，但也可以用三角函数或指数函数的乘积来表示，但最常用的是多项式插值函数。有限元插值函数分为两类，一类只要求插值多项式本身在插值点取一个已知值有限单元法基本原理和数值方法，称为拉格朗日()多项式插值；另一个不仅需要插值多项式本身，还需要它的导数。该值在插值点取一个已知值，称为 () 多项式插值。元素坐标包括笛卡尔笛卡尔坐标系和无量纲自然坐标，包括对称性和不对称性。常用的无量纲坐标是局部坐标系，其定义取决于单元的几何形状。一维为长度比有限单元法基本原理和数值方法，二维为面积比，三维为体积比。在二维有限元中，三角元最早，四边形等参元最近得到越来越广泛的应用。对于二维三角形和四边形电源单元，常用的插值函数有直角坐标系中的线性插值函数有La插值和二阶或更高阶的插值函数，区域坐标系中的线性插值函数，二阶或更高阶的插值函数，阶或更高的插值函数 阶插值函数等

对于有限元法，其基本思想和求解问题的步骤可以概括为

2.多重网格法

多网格方法通过在不同密度和密度的网格层上进行迭代来平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快、精度高的优点。

多重网格法的基本原理 微分方程的误差分量可分为两类，一类是频率变化缓慢的低频分量；另一种是高频成分，频率高，摆幅快。一般的迭代法可以快速衰减摆动误差，但对于那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格规模有关。它们在细网格上被视为低频分量，在粗网格上可能是高频分量。

多重网格法作为一种快速计算方法，对离散化后由偏微分方程组成的代数方程进行迭代求解。其基本原理是一定的网格最容易消除波长和网格步长对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格，不同密度和密度的网格消除了不同波长的误差分量。首先，在细网格上使用迭代法。当收敛速度变慢时，说明误差已经平滑，然后转移到较粗的网格。在网格上，将本层网格对应的那些比较容易消除的误差分量进行消除，以此类推，直至消除各种误差分量，然后逐层回到细网格。目前的两层网格方法在理论上已被证明是收敛的，其收敛速度与网格尺度无关。

多重网格法是迭代法和粗网格校正的结合。实践证明，迭代法可以快速去除那些高频分量，而粗网格校正可以帮助去除平滑后的低频分量，而高频分量基本不起作用。科学研究 中国在多网格计算中需要一些介质将细网格上的信息传递给粗网格，也需要一些介质将粗网格上的信息传递给细网格。限制算子Iih(i-1)h是将细网格的第i-1层上的残差限制到粗网格的第i层的算子。最简单的算子是平凡单射的，并且有特殊的加权限制。;

3. 有限差分法

有限差分法（FDM）是最早用于计算机数值模拟的方法，至今仍被广泛使用。该方法将解域划分为微分网格，并用有限数量的网格节点代替连续解域。有限差分法是利用级数展开等方法，通过函数值在网格节点上的差商将控制方程中的导数离散化，从而在网格节点上建立具有未知值的代数方程组。该方法是一种近似数值解，直接将微分问题转化为代数问题。数学概念直观，表达简单。是一种较早成熟的数值方法。对于有限差分格式，根据格式的准确性，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。考虑到差异的空间形式，可以分为中心格式和逆格式。考虑到时间因素的影响，差分格式还可以分为显式格式、隐式格式、显式和隐式交替格式等。目前常见的差分格式主要是上述形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形和稳定性条件确定。它可以分为中心格式和逆格式。考虑到时间因素的影响，差分格式还可以分为显式格式、隐式格式、显式和隐式交替格式等。目前常见的差分格式主要是上述形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形和稳定性条件确定。它可以分为中心格式和逆格式。考虑到时间因素的影响，差分格式还可以分为显式格式、隐式格式、显式和隐式交替格式等。目前常见的差分格式主要是上述形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形和稳定性条件确定。目前常见的差分格式主要是上述形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形和稳定性条件确定。目前常见的差分格式主要是上述形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形和稳定性条件确定。

构造差分的方法有很多，目前主要采用泰勒级数展开法。其基本差分表达式主要有一阶前向差分、一阶后向差分、一阶中心差分和二阶中心差分三种形式，其中前两种格式为一阶计算精度，后者为两种格式都是二阶计算精度。通过组合几种不同的时空差分格式，可以组合不同的差分计算格式。

4. 有限体积法

有限体积法 ( ) 也称为控制体积法。基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体，围绕每个网格点做一个控制体；对每个控制体积待求解的微分方程进行积分，得到一组离散方程。其中未知数是网格点处因变量的数值。为了求控制量的积分，需要假设网格点之间值的变化规律，即假设值的分段分布的分布剖面。从积分面积的选取方法来看，有限体积法属于加权残差法中的子面积法；从未知解的逼近方法来看，有限体积法属于使用局部逼近的离散方法。总之，子区域法属于有限体积展开的基本方法。

有限体积法的基本思想很容易理解，并引出直接的物理解释。离散方程的物理意义是因变量在有限控制体积中的守恒原理，正如微分方程表达因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得到的离散方程要求因变量的积分守恒对于任意一组控制体积都满足，自然对整个计算区域也满足。这是有限体积法的一个吸引人的优势。有一些离散方法，例如有限差分法，其中离散方程只有在网格非常精细时才满足积分守恒，而有限体积法即使在粗网格下也能显示出精确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视为介于有限元法和有限差分法之间的中间体。有限元法必须假设网格点之间的数值变化（即插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点处的值，不考虑网格点之间的值如何变化。有限体积法只求节点值，类似于有限差分法；但是，有限体积法在求控制体积的积分时，必须假设值在网格点之间的分布，这与有限元法类似。在有限体积法中，插值函数仅用于计算控制体积的积分。得到离散方程后，可以忘记插值函数；如有必要，可以对微分方程中的不同项使用不同的插值函数。

5.近似解的误差估计方法

近似解的误差估计方法有三种：单元余量法、通量投影法和外推法。

单元余量法广泛用于有限元离散误差估计。它主要估计精确算子的余量，而不是整套控制方程的全局误差。这样，必须假设周围单元误差不相互耦合，误差计算是通过逐节点算法进行的。单元残差法的各种方法主要来自于对单元误差方程边界条件的不同处理方法。基于此，该方法可以有效地处理局部残量，并可以成功地用于网格优化器中。

通量投影法的基本原理来源于一个很简单的事实：偏微分方程的精确解不能有不连续微分，但近似解可以有微分不连续，所以产生的误差来自微分本身，即, 误差是系统的光滑解和非光滑解的差值。该方法与单元余量法一样，对节点误差使用能量范数，因此它也可以成功地用于网格优化程序。使用单元余量法和通量投影法。限于局部误差计算（使用能量范数），不考虑误差方程的全局特性。此外，计算的可行性（即误差估计方程的计算时间应小于近似解的计算时间）在这两种方法中无法体现。由于得到的误差方程数量较多，其阶数与流场的控制方程相同。

外推法是指利用反向数值误差估计的思想，从精确解中推导出近似解的误差值。在各种文献中，外推法常用于估计截断误差。无论是低阶格式还是高阶格式，随着网络，由于计算机内存和计算时间的限制，这种无限网格加密的方法在实际中无法使用。所开发的外推方法可用于不同的稀疏网格。可以从密集网格上得到的结果估计出相应的收敛解，估计所用离散方法的截断误差的阶数，估计得到的数值计算的截断误差。这种方法有很大的局限性，不能简单地用于复杂的湍流。在数值计算中，数值解必须单调地逼近其收敛值。文献中提出的单网格后向误差估计思想，用于有限元法FEM和有限体积法FVM，也用于网格优化例程，但该方法不能用于复杂湍流的数值分析任何一个。

6、多尺度计算方法

近年来发展起来的多尺度计算方法包括均匀化法、非均匀化多尺度法、小波数值均匀化法、多尺度有限体积法和多尺度有限元法。

均质化法是一种多尺度分析的方法。该方法通过求解单细胞问题，将微观尺度上的信息映射到宏观尺度上，进而推导出宏观尺度上的均质化方程，从而在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在许多科学和工程应用中取得了巨大的成功，但该方法是基于系数细观结构周期性的假设，因此应用范围受到很大限制。

E 等人提出的非齐次多尺度方法。是构建多尺度计算方法的通用框架。该方法有两个重要组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和通过微观模型对缺失的宏观数据的估计。通过这两部分得到多尺度问题的解。

小波数值均匀化方法是由 提出的求解椭圆方程的一种新方法。该方法基于多分辨率分析，在精细尺度上建立原始方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到大尺度上的数值均匀化算子。这种方法可以大规模求解方程，大大减少了计算时间。

多尺度有限元法由等人提出。该方法在宏观尺度上进行网格划分，然后通过在每个单元中求解细观尺度的方程（构建线性或振荡边界条件）来获得基函数。因此，将细观尺度的信息反映到有限元法的基函数中，使宏观尺度的解包含细观尺度的信息。然而，多尺度有限元法在构造基函数时需要大量的计算。

以上介绍了计算机数值计算中常用的几种方法。了解这些方法的原理及其优缺点，有助于我们加深对数值计算的理解，便于我们在数值计算过程中掌握主动权。